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おはにちばんは。
前回は群、可換群、部分群、正規部分群までを定義しました。 後々分かるのですが、部分群が正規であるという条件はかなり強い条件であり、正規部分群の数を調べることで群の構造が分かったりします。 大事な項目なので、「定義を忘れたぜｗ」とか、「定義なんてしらねぇぜｗ」とか、ましてや「正規？何それ美味しいの？」なんて思っちゃってる方がいれば、ひとつ前の記事を読んでみてください。 さて、今回は剰余類と剰余群の定義をしていきます。余力があればラグランジュの定理へ。 まずG:group, H:subgroup とします。 ∀g∈G, ∀h∈H, gh∈G であり、 h'∈H について、gh=gh' ならば、両辺の左側からg^(-1)を掛けることによって、h=h' が導かれます。 つまり、gH:={gh|h∈H} について、 |gH|=|H|~~~① となります。 (そう言えば定義していなかったのですが、|G|はGに含まれる元の数を表し、これをGの位数と呼びます) 命題1 G:group Ｈ:subgroup g∈Gとするとき gH=g'H ⇔ ∃h'∈H s.t. g=g'h' (証明) gH=g'Hならば、g=g1∈g'H つまり∃h'∈H s.t. g=g'h' となります。 逆にこの時、∀h∈H gh=(g'h')h=g(h'h)∈g'H かつg'h=(gh'^(-1))h=g(h'^(-1) h)∈gH なので gH⊂g'H かつ gH⊃g'H つまりgH=g'H(q.e.d.) 命題2 G:group H:subgroup g,g'∈Gとするとき gH∩g'H≠∅ ⇔ gH=g'H (証明) (右から左は自明なので左から右を示します。) gH∩g'Hの元xは少なくとも一つ存在するので、∃h,h'∈H,H' s.t. gh=g'h' 両辺の右側からh^(-1)をかけて g=g'h'h^(-1)=g'(h'h^(-1)) なので命題1よりgH=g'H この命題より、Gが有限群の時（有限群：位数が有限な群）任意に一つg_1∈Gを取り、G\g_1Hから任意に一つg_2∈Gをとり、G\(g_1H∩g_2H)から任意に一つg_3∈Gを取り・・・という操作を繰り返すことにより、 ∃g_1,g_2,...,g_n ∈G s.t. G=∪(i=1~n)(g_i)H~~~② 次にHがGの正規部分群である時、G/H:={gH|g∈G}に (gH)(g'H):=(gg')H という乗法を定めることにより、G/Hはまた群となる。 ここで、一言で「～～という乗法を定めることにより」と書きましたが、乗法を定めたということは演算を一つ定めたということであり、演算とは写像の一種であったので、gH=g''H ,g'H=g'''H としたときに、演算によって移る先(gH)(g'H)と(g''H)(g'''H)は等しい必要があります。（つまり、これらが等しくなければこの乗法は写像の定義を満たしていないことになります。） このように、矛盾なく定義出来ていることをwell-definedであるといいます。 well-definedの感覚は最初は掴みにくいかと思いますが、徐々に慣れていきましょう。 上で定義した乗法がwell-definedであることを確かめましょう。 (g''H)(g'''H) =g''g'''H(乗法の定義から) =ghg'h'H(命題1から) =gg'(g'^(-1)hg')h'H =gg'H(HはGの正規部分群であったのでg'^(-1)hg'∈H) =(gH)(g'H) ゆえにwelldefinedであることが示された。 さて、G/Hが群であることは定義を一つ一つ確認することで示されますが、ただの作業ゲーなので割愛します。G/HをGのHによる剰余群といいます。 ここまでくればあとはラグランジュの定理を示すのは簡単です。 定理（ラグランジュの定理） 記号は上で定めたものとするとき |G|=|G/H||H| (証明) |G|=Σ(i=1~n)|g_iH|(命題2と②より) =Σ(i=1~n)|H|(|g_iH|=|H|より) =n|H| =|G/H||H|(|G/H|=nより) q.e.d. この定理によって、部分群の位数は群の位数の約数であることが分かりました。 このことは非常によく使うので覚えておきましょう。（というか話の流れが分かれば自分で示せます・・・よね？） 今回の記事は以上です。 次回は多分環とか体の定義を話してうんじゃらぺー もしくは、元の位数の話をして群の作用の話とかをしようかな、とか思ってます。 ではではまた会う日まで~。 PR |
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