お久しぶりです。水槽ゼリーです。
シローの定理とか環とか体の話を書こうかと思っていたのですが、「Zornの補題の証明が読みたいw」というような要望をTwitter上で捕捉したので急遽、選択公理とZornの補題が同値であることを示そうと思います。

ところがですね、選択公理がどうとかZornの補題がどうとか、そういう話をしようとすると、「そもそもどこまで使って良いんだ？？？」という問題が生じるわけです。
つまり、どういう公理系を適用するのかを明示しないといけません。

ということで、今回はZF公理系の上で考えます。（Foo！ひょうじゅんてきぃ！！）
（この記事ではZF公理系の９つの公理を羅列するに留め、次の記事で証明を与えます。）
（ほとんどwikipediaからのコピペなので、wikipediaを見て頂いても結構ですw）

～ここから数学的なことになるので語尾が命令になったり敬語になったりして気持ち悪いかもしれませんが御愛嬌と思って見逃して下さい＞＜～

1.外延性公理「二つの集合が等しいってこういうことさ」
∀A,∀B(∀x(x∈A⇔x∈B)⇒A=B)

2.空集合の公理「空集合は集合だよ」
∃A;∀x,x∉A

3.非順序対の公理「二つの集合の組は集合だよ」
∀x,∀y,∃A;∀t(t∈A⇔(t=x∨t=y))

4.和集合の公理「二つの集合の要素を集めたものもまた集合だよ」
∀x,∃A;∀t(t∈A⇔∃x∈X;t∈x)

5.無限公理「無限集合があるんだぜ☆」
∃A;∅∈A∧∀x∈A(x∪{x}∈A

6.冪集合の公理「部分集合全体の集まりは集合だよ」
∀X,∃A;∀t(t∈A⇔t⊆X)

7.置換公理「関数の定義域が集合なら、値域も集合だよ。」
∀x∀y∀z((ψ(x,y)∧ψ(x,z))⇒y=z)⇒∀X∃A;∀y(y∈A⇔∃x∈X;ψ(x,y))

8.正則性公理「空じゃない集合AはAと交わらないような要素xを持つよ。」
∀A(A≠∅⇒∃x∈A;∀t∈A(t∉x))

とまぁ以上ですが、私自信まともに公理を眺めた事がなかったので、ここまで解釈を添えるのに結構時間がかかりました。特に7.置換公理に関しては眺めて１０分位「一体全体なんじゃらほいｗｗｗｗｗまったくわけがわからんぽん(^^)(^^)(^^)圧倒的うんじゃらペー現象wwwwwぐひゃぺろ(^^)(^^)(^^)」っていう感じで、友人（@zhiwei826）に聞いて初めて納得できたので少し補足しておきます。(@zhiwei826に感謝。)

普通、関数というのは(fx,x)という形の順序対を要素に持つ集合として定義するのですが、順序対だけではf(x)の値が一意に定まらないので、7番の前半部分があります。（伝聞。たしかにそうなってますよねぇ。）
つまり「∀x∀y∀z((ψ(x,y)∧ψ(x,z))⇒y=z」というのは、要は「f(x)=y∧f(x)=z⇒y=z」を表していて、
後半「∀X∃A;∀y(y∈A⇔∃x∈X;ψ(x,y))」は「f(x)の集まりは集合だよ」と言っているわけです。

少しでも理解の助けになれば幸いです。
集合がたった８つで特徴づけられているなんて、少し不思議な気持ちですね。
次の記事では選択公理と整列可能定理とZornの補題が同値なことを示します。
今晩中に書くつもりはしてますが・・・出来るのかな？？？先が思いやられます。
ではとりあえず今回はこの辺りで。

さようなら～～～（ｼﾞｭﾙｼﾞｭﾙ

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