定義（演算、群、可換群）
Gが集合のとき写像Φ:G×G→GをG上の演算という。
空集合でない集合Gと演算Φに対して、以下の3つの条件を満たすとき、集合Gは群(group)であるという。

(1)∃e∈G s.t. ∀x∈G ex=xe=x （このような元eを単位元と呼ぶ）
(2)∀x∈G ∃y∈G s.t. xy=yx=e （このような元yをxの逆元と呼び、x^(-1)と書く）
(3)∀a,b,c∈G (ab)c=a(bc) (このような関係式を結合法則と呼ぶ)

以上3つに加えて以下の(4)を満たす時、集合Gは可換群(commutative group)であるという。

(4)∀a,b∈G ab=ba

定義(部分群)
群Gの部分集合HがGの演算Φによって群になる時、HはGの部分群(subgroup)であるという。

またこれは以下の三つの条件が成り立つことと同値である。(証明は省く)

(1)1_G∈H(ただし1_GはGの単位元とする)
(2)∀x,y∈H xy∈H
(3)x∈H⇒x^(-1)∈H

定義(正規部分群)
群Gの部分群Hが次の条件を満たす時、HはGの正規部分群(normal subgroup)であるといい、G>Hと表す(通常は不等号ではなく、開いた方を閉じた三角形を用いますが、フォントの都合上不等号で表すことにします)

(条件)∀g∈G,∀h∈H ghg^(-1)∈H

と、今回の記事はここまでです。あとはちょこっと代数学の気持ちを。
群は積の一般化です。実はこのようなものを考えることで、後々五次以上の方程式に代数的な解の公式が一般には存在しないことが示せるらしいのですが、まだ無学なためそこまでは知りません。
代数学は方程式の代数的な解の公式の存在を調べるたり、整数論を一般的な立場で議論するために発展した分野なのだそうで、それだけでも代数学を学ぶモチベーションには十分なのですよね。
さらに、代数学の議論では解析などのような煩雑な計算が少なく、一つ一つの簡単な議論の積み重ねによって高尚な定理が導かれるのです。
この議論一つ一つがパズルのようで、自分で定理を証明していくのはすごく楽しいです。
（まだまだ入門部分を勉強しているところなので、認識を誤っているかもしれませんが、楽しいのは間違いないですよ）

次回は剰余類を定義して、剰余群を定義するための議論を書いてみようかと思っています。では。

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